Question

如圖，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）是拋物線C：x²=2py（p為正常數）上的兩個動點，直線AB與x軸交于點p，與y軸交于點Q，且y₁y₂=

p2

4

．
（Ⅰ）求證：直線AB過拋物線C的焦點；
（Ⅱ）是否存在直線AB，使得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

3

|PQ|

？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0，b＞0），由

y=kx+b x2=2py

，得x²-2pkx-2pb=0．由此能夠證明直線AB過拋物線C的焦點．
（Ⅱ）假設存在直線AB，使得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

3

|PQ|

，即

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=3．作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足為A′、B′，故

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=

|OQ|

|AA/|

+

|OQ|

|BB/|

=

p 2

y1

+

p 2

y2

=

p

2

•

y1+y2

y1y2

．由此能夠求出直線AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，直線AB的斜率存在，且不為零．
設直線AB的方程為：y=kx+b（k≠0，b＞0）
由

y=kx+b x2=2py

，得x²-2pkx-2pb=0．
∴

△=4p2k2+8pb＞0 x1+x2=2pk x1x2=-2pb

，（4分）
∴y1y2=

x 2 1

2p

•

x 2 2

2p

=

(-2pb)2

4p2

=b2．
∵y1y2=

p2

4

，∴b2=

p2

4

，
∵b＞0，∴b=

p

2

．
∴直線AB的方程為：y=kx+

p

2

．
拋物線C的焦點坐標為(0，

p

2

)，
∴直線AB過拋物線C的焦點．（8分）
（Ⅱ）假設存在直線AB，使得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

3

|PQ|

，即

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=3．
作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足為A′、B′，
∴

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=

|OQ|

|AA/|

+

|OQ|

|BB/|

=

p 2

y1

+

p 2

y2

=

p

2

•

y1+y2

y1y2

．（11分）
∵y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，y1y2=

p2

4

，
∴

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=

p

2

•

2pk2+p

p2 4

=4k²+2．
由4k²+2=3，得k=±

1

2

．
故存在直線AB，使得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

3

|PQ|

．
直線AB方程為y=±

1

2

x+

p

2

．（15分）

點評：本題考查直線經過拋物線焦點坐標的證明，考查直線方程的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．