Question

13．如圖．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別AB，BC的中點(diǎn)，A₁C₁與B₁D₁交于點(diǎn)O．
（1）求證：A₁，C₁，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A₁E，求證：OD丄平面A₁C₁FE．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由EF是△ABC的中位線(xiàn)，可得EF∥AC，又AA₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，可證AC∥A₁C₁，從而可證EF∥A₁C₁，即A₁，C₁，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；
（2）連接BD，可證DD₁⊥A₁C₁，又A₁C₁⊥B₁D₁，可證A₁C₁⊥平面BB₁DD₁，可得OD⊥A₁C₁，結(jié)合OD⊥A₁E，即可證明OD⊥平面A₁C₁FE．

解答 （本題滿(mǎn)分為14分）
解：（1）連接AC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF是△ABC的中位線(xiàn)，
所以EF∥AC，
由直棱柱知：AA₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，所以四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，所以AC∥A₁C₁，…5分
所以EF∥A₁C₁，
故A₁，C₁，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；…7分，
（2）連接BD，因?yàn)橹崩庵�中DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以DD₁⊥A₁C₁，
因?yàn)榈酌鍭₁B₁C₁D₁是菱形，所以A₁C₁⊥B₁D₁，
又DD₁∩B₁D_1⁼D₁，所以A₁C₁⊥平面BB₁DD₁，…11分
因?yàn)镺D?平面BB₁DD₁，
所以O(shè)D⊥A₁C₁，
又OD⊥A₁E，A₁C₁∩A₁E=A₁，A₁C₁?平面A₁C₁FE，A₁E?平面A₁C₁FE，
所以O(shè)D⊥平面A₁C₁FE…14分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．