Question

已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+2

3

sin²ωx-

3

（ω＞0）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的解析式及其在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用二倍角三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再由三角函數(shù)的周期公式求出ω，求出函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，即可得到單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，得出函數(shù)g（x）的解析式，求出函數(shù)的相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，得
函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+2

3

sin²ωx-

3

=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin（2ωx-

π

3

），函數(shù)f（x）ω＞0的最小正周期是π，
∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1．
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（II）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，
得到函數(shù)y=g（x）=2sin（2x+

π

3

）+1．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

時(shí)，即x=

π

12

時(shí)，函數(shù)取得最大值：3．
當(dāng)2x+

π

3

=

4π

3

時(shí)，即x=

π

2

時(shí)，函數(shù)取得最小值：1-

3

．
∴y=g（x）在[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇1-

3

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及三角函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．