(Ⅰ)證明:①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),顯然△AOB不是直角三角形;
②當(dāng)直線l斜率存在時(shí),焦點(diǎn)F為(1,0),過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于點(diǎn)A、B的直線可設(shè)為x=ky+1,
代入拋物線y
2=4x,得y
2-4ky-4=0,則有y
Ay
B=-4,進(jìn)而
,
又
,
所以∠AOB為鈍角,即△AOB不是直角三角形.
(Ⅱ)AB方程:x-2y-1=0,代入拋物線y
2=4x,求得
,
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C(t
2,2t)使△ABC為直角三角形且B為直角,
此時(shí)
,所以
,解得
,對(duì)應(yīng)點(diǎn)B,
,對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,
則存在
使△ABC為直角三角形,
故滿足條件的點(diǎn)C只有一個(gè),即
.
分析:(Ⅰ)分情況證明:①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),容易證明;②當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線AB方程為x=ky+1,與拋物線方程聯(lián)立方程組消去x得y的二次方程,利用韋達(dá)定理可求
,由計(jì)算結(jié)果即可證明;
(Ⅱ)由已知可求得AB方程,與拋物線方程聯(lián)立求得A,B坐標(biāo),假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C(t
2,2t)使△ABC為直角三角形且B為直角,由
可求得t值,從而可求得C點(diǎn)坐標(biāo),經(jīng)驗(yàn)證可得答案.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解,考查向量在判斷三角形形狀中的應(yīng)用,考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力,(Ⅱ)中要注意檢驗(yàn)C點(diǎn)是否符合題意.