Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：△AOB不是直角三角形；
（Ⅱ）當(dāng)l的斜率為時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形且B為直角（點(diǎn)B位于x軸下方）？若存在，求出所有的點(diǎn)C；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，顯然△AOB不是直角三角形；
②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，焦點(diǎn)F為（1，0），過(guò)點(diǎn)F且與拋物線交于點(diǎn)A、B的直線可設(shè)為x=ky+1，
代入拋物線y²=4x，得y²-4ky-4=0，則有y_Ay_B=-4，進(jìn)而，
又，
所以∠AOB為鈍角，即△AOB不是直角三角形．
（Ⅱ）AB方程：x-2y-1=0，代入拋物線y²=4x，求得，
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C（t²，2t）使△ABC為直角三角形且B為直角，
此時(shí)，所以，解得，對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，
則存在使△ABC為直角三角形，
故滿足條件的點(diǎn)C只有一個(gè)，即．
分析：（Ⅰ）分情況證明：①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，容易證明；②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB方程為x=ky+1，與拋物線方程聯(lián)立方程組消去x得y的二次方程，利用韋達(dá)定理可求，由計(jì)算結(jié)果即可證明；
（Ⅱ）由已知可求得AB方程，與拋物線方程聯(lián)立求得A，B坐標(biāo)，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C（t²，2t）使△ABC為直角三角形且B為直角，由可求得t值，從而可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，考查向量在判斷三角形形狀中的應(yīng)用，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力，（Ⅱ）中要注意檢驗(yàn)C點(diǎn)是否符合題意．