Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（ax-

x

）（a＞0，a≠1且a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若a=2，試根據(jù)單調性定義確定函數(shù)f（x）的單調性；
（3）若函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的值域與最值,對數(shù)函數(shù)的定義域

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件，即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若a=2，根據(jù)單調性定義即可確定函數(shù)f（x）的單調性；
（3）若函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系，分別討論即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則ax-

x

＞0，且x≥0，
即x＞

1

a2

，即函數(shù)f（x）的定義域{x|x＞

1

a2

}；
（2）若a=2，則f（x）=log₂（2x-

x

），
則函數(shù)的定義域為{x＞

1

4

}
設

1

4

＜x1＜x2，
設g（x）=2x-

x

，
則g(x1)-g(x2)=2x1-

x1

-2x2+

x2

=2(x1-x2)(2-

1

x1 + x2

)，
∵

1

4

＜x1＜x2，
∴x₁-x₂＜0，

1

2

＜

x1

＜

x2

，
∴

x1

+

x2

＞1，0＜

1

x1 + x2

＜1，
∴g(x1)-g(x2)=2(x1-x2)(2-

1

x1 + x2

)＜0，
即函數(shù)g（x）=2x-

x

單調遞增，∴根據(jù)復合函數(shù)的單調性之間的關系可知函數(shù)f（x）的單調遞增．
（3）若函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，
若a＞1，設m（x）=ax-

x

，則m（x）在定義域{x|x＞

1

a2

}上單調遞增，
∴m'（x）=a-

1

2 x

≥0，
即a≥

1

2 x

在x＞

1

a2

上恒成立，
∵當x＞

1

a2

時，

1

2 x

＜

1

2 1 a2

=

a

2

，此時a＞

a

2

恒成立．
若0＜a＜1，設m（x）=ax-

x

，則m（x）在定義域{x|x＞

1

a2

}上單調遞減
∴m'（x）=a-

1

2 x

≤0，
即a≤

1

2 x

在x＞

1

a2

上恒成立，
∵當x＞

1

a2

時，

1

2 x

＜

1

2 1 a2

=

a

2

，此時a＜

a

2

不成立．
綜上a＞1．

點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調性以及對數(shù)的性質的綜合應用，考查學生的計算能力，綜合性較強，運算量較大．