Question

已知a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*．
（1）求a₃，a₅的值；
（2）求通項公式a_n；
（3）求證：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

13

4

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，可知a₃=a₁+1，a₅=a₃+3求得答案．
（2）分別看數(shù)列項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時，利用疊加法求得通項公式a_n；
（3）分別看n為奇數(shù)和偶數(shù)時，把（2）中求得的通項公式代入

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

中，利用裂項法證明原式．

解答：解：（1）b₂=a₁-1=0，∴a₃=b₂+2=2，a₅=a₃+3=5；
（2）由題意，a₃=a₁+1，a₅=a₃+3，，a_2n-1=a_2n-3+（2n-3），
∴a2n-1=a1+

(1+2n-3)(n-1)

2

=n2-2n+2；
同理，a_2n=n²+n，∴an=

n2-2n+5 4 ?n為奇數(shù) n2 4 + n 2    n為偶數(shù)

；
（3）當(dāng)n≥3時，

1

a2n-1

=

1

n2-2n+2

＜

1

n(n-2)

=

1

2

(

1

n-2

-

1

n

)，
而

1

a2n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，(n∈N*)，∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

++

1

a2n

=(

1

a1

+

1

a3

++

1

a2n-1

)+(

1

a2

+

1

a2

++

1

a2n

)
＜

1

a1

+

1

a3

+

1

2

(1+

1

2

-

1

n-1

-

1

n

)+(1-

1

n+1

)＜1+

1

2

+

3

4

+1=

13

4

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項公式和求和問題．考查了學(xué)生數(shù)列問題的綜合把握．