如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、．點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別為、．

（i）證明：；

（ii）問(wèn)直線上是否存在點(diǎn)，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

【答案】

（1）根據(jù)橢圓的方程以及斜率公式來(lái)得到求解。

（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或  

【解析】

試題分析：（i）.橢圓方程為，、 設(shè)

則，，      2分

（ii）記A、B、C、D坐標(biāo)分別為、、、

設(shè)直線：    ：

聯(lián)立可得              4分

，代入，可得

                            6分

同理，聯(lián)立和橢圓方程，可得             7分

由及（由（i）得）可解得，或，所以直線方程為或，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或                      10分

考點(diǎn)：橢圓方程

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，以及運(yùn)用韋達(dá)定理求解斜率和，進(jìn)而得到直線的方程，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分12分）

如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）試問(wèn)直線的斜率之和是否為定值，若為定值，求出以線段為直徑且過(guò)點(diǎn)的圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆安徽省毫州市高二上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn).，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、.點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)直線、的斜線分別為、.      證明：

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）文科數(shù)學(xué)全解全析 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)（1，），離心率為 ，左右焦點(diǎn)分別為.點(diǎn)為直線：上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線、斜率分別為.

（�。┳C明：

（ⅱ )問(wèn)直線上是否存在一點(diǎn)，使直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年高考試題（山東卷）解析版（文） 題型：解答題

 如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)（1，），離心率為 ，左右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)為直線：上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和為坐標(biāo)原點(diǎn)．

    （Ⅰ） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （Ⅱ）設(shè)直線、斜率分別為．

證明：

（ⅱ）問(wèn)直線上是否存在一點(diǎn)，

使直線的斜率

滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

 

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