Question

已知橢圓兩焦點(diǎn)F₁、F₂在y軸上，短軸長為，離心率為，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且，過P作關(guān)于直線F₁P對(duì)稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證直線AB的斜率為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意可知b，進(jìn)而根據(jù)離心率和a，b和c的關(guān)系求得a和c，則橢圓的方程可得．進(jìn)而求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出和，進(jìn)而根據(jù)求得x和y的關(guān)系式，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程求和另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程求得x和y即P的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）可知PF₁∥x軸，設(shè)PB的斜率為k，根據(jù)點(diǎn)斜式表示出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去y，設(shè)出B的坐標(biāo)，根據(jù)題意可求得x_B的表達(dá)式，同理求得x_A的表達(dá)式，進(jìn)而可知x_A-x_B的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得y_A-y_B，進(jìn)而根據(jù)斜率公式求得直線AB的斜率，結(jié)果為定值．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為+=1，由題意可得b=，
=，即a=c，
∵a²-c²=2
∴c=，a=2
∴橢圓方程為+=1
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），（0，-），設(shè)p（x，y）（x＞0，y＞0）
則=（-x，-y），=（-x，--y），
∴•=x²-（2-y²）=1
∵點(diǎn)P在曲線上，則+=1
∴x²=，
從而-（2-y²）=1，得y=，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）

（2）由（1）知PF₁∥x軸，直線PA，PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB的斜率為k（k＞0），
則PB的直線方程為y-=k（x-1），由得
（2+k²）x²+2k（-k）x+（-k²）-4=0
設(shè)B（x_B，y_B），則x_B=-1=，
同理可得，則，
y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=
所以AB的斜率k_AB==為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．