已知△ABC中，內角A、B、C的對邊的邊長為a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB，則y=cos2A+cos2C的最小值為
1
2
1
2
．
分析：△ABC中，由正弦定理可求得cosB=
1
2
，從而求得 B=
π
3
，A+C=
2π
3
．利用兩角和差的正弦公式，二倍角公式化簡 y=cos2A+cos2C=1-
1
2
sin（2A-
π
6
），再由
-
π
6
＜2A-
π
6
＜
7π
6
，求得-
1
2
＜sin（2A-
π
6
）≤1，由此可得y的最小值．
解答：解：△ABC中，由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，即sin（B+C）=2sinAcosB．
因為0＜A＜π，所以sinA≠0，∴cosB=
1
2
，∴B=
π
3
，A+C=
2π
3
．
∴2A+2C=
4π
3
，則y=cos2A+cos2C=
1+cos2A
2
+
1+cos2C
2
=
1+cos2A
2
+
1+cos(
4π
3
-2A)
2
=1+
1
2
[
1
2
cos2A-
3
2
sin2A]
=1-
1
2
sin（2A-
π
6
）．
∵0＜2A＜
4π
3
，∴-
π
6
＜2A-
π
6
＜
7π
6
，則-
1
2
＜sin（2A-
π
6
）≤1，
故y=cos2A+cos2C的最小值為 1-
1
2
=
1
2
，
故答案為
1
2
．
點評：本題主要考查正弦定理的應用，兩角和差的正弦公式，二倍角公式以及誘導公式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，cosB=
3
4
．
（Ⅰ）求
1
tanA
+
1
tanC
的值；
（Ⅱ）設
BA
•
BC
=
3
2
，求a+c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，滿足A＜B＜C，且sinA：sinB：sinC=5：7：k．
（1）已知k=11，求△ABC的最大角的余弦值；
（2）若a=10，且△ABC為鈍角三角形，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，內角A，B，C對邊分別為a，b，c，a=1， b=
3
， cosC=-
3
3

（1）求△ABC的面積；
（2）求sin（B-A）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，內角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，A=
π6
，b=2acosB
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=2．求△ABC的面積．

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