解:(1)當x≥1時,f(x)=x-1-lnx,∴
,∴f(x)在[1,+∞)上遞增;
當0<x<1時,f(x)=1-x-lnx,∴
,∴f(x)在(0,1)上遞減;
因此f(x)
min=f(1)=0(4分)
(2 ) ①若a≥1,當x≥a時,
,則f(x)在區(qū)間,[a,+∞)上遞增;
當0<x<a時,f(x)=a-x-lnx,
,則f(x)在區(qū)間(0,a)上遞減.(6分)
②若0<a<1,當x≥a時,
,則當x>1時,f′(x)>0;
當a≤x<1時,f′(x)<0,所以f(x)在[1,+∞)上遞增,在[a,1)上遞減;
當0<x<a時f(x)=a-x-lnx,
則f(x)在(0,a)上遞減,而f(x)在x=a處連續(xù),
所以f(x)在[1,+∞)上遞增,在(0,1)上遞減.(8分)
綜上:當a≥1時,增區(qū)間[a,+∞),減區(qū)間(0,a).當0<a<1時,增區(qū)間[1,+∞),減區(qū)間(0,1)(9分)
(3)由(1)可知,當a=1,x>1時,有x-1-lnx>0,即
(10分)
所以
=
=
=
(12分)
要使
,∵a∈N
+,n≥2
只需a≥1,所以a的最小正整數(shù)值為1 (14分)
分析:(1)先通過討論去掉絕對值符號再求導(dǎo),可求出單調(diào)區(qū)間及最小值.
(2)需要通過分類討論a與1的大小關(guān)系及x與a的大小關(guān)系,再通過求導(dǎo)得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(3)由(1)可知,當a=1,x>1時,有x-1-lnx>0,變形即
,利用此結(jié)論可求出a的取值范圍.
點評:本題綜合考查了通過分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值,及利用已證結(jié)論證不等式等內(nèi)容.無論分類討論還是證不等式都有一定的技巧和難度,需要認真體會其方法.