Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-lnx，（x＞0），h（x）=ax-1（a∈R）
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及f（x）的最小值；
（2）若a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若，求a的最小正整數(shù)值．

Answer 1

解：（1）當x≥1時，f（x）=x-1-lnx，∴，∴f（x）在[1，+∞）上遞增；
當0＜x＜1時，f（x）=1-x-lnx，∴，∴f（x）在（0，1）上遞減；
因此f（x）_min=f（1）=0（4分）
（2 ） ①若a≥1，當x≥a時，，則f（x）在區(qū)間，[a，+∞）上遞增；
當0＜x＜a時，f（x）=a-x-lnx，，則f（x）在區(qū)間（0，a）上遞減．（6分）
②若0＜a＜1，當x≥a時，，則當x＞1時，f′（x）＞0；
當a≤x＜1時，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，+∞）上遞增，在[a，1）上遞減；
當0＜x＜a時f（x）=a-x-lnx，則f（x）在（0，a）上遞減，而f（x）在x=a處連續(xù)，
所以f（x）在[1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減．（8分）
綜上：當a≥1時，增區(qū)間[a，+∞），減區(qū)間（0，a）．當0＜a＜1時，增區(qū)間[1，+∞），減區(qū)間（0，1）（9分）
（3）由（1）可知，當a=1，x＞1時，有x-1-lnx＞0，即（10分）
所以===（12分）
要使，∵a∈N₊，n≥2
只需a≥1，所以a的最小正整數(shù)值為1 （14分）
分析：（1）先通過討論去掉絕對值符號再求導(dǎo)，可求出單調(diào)區(qū)間及最小值．
（2）需要通過分類討論a與1的大小關(guān)系及x與a的大小關(guān)系，再通過求導(dǎo)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）由（1）可知，當a=1，x＞1時，有x-1-lnx＞0，變形即，利用此結(jié)論可求出a的取值范圍．
點評：本題綜合考查了通過分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值，及利用已證結(jié)論證不等式等內(nèi)容．無論分類討論還是證不等式都有一定的技巧和難度，需要認真體會其方法．