Question

定義一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f：P/(m，n)→P(

m

，

n

)，(m≥0，n≥0)．現(xiàn)有點(diǎn)A′（1，3）與點(diǎn)B′（3，1），點(diǎn)M′是線段A′B′上一動(dòng)點(diǎn)，按定義的對(duì)應(yīng)法則f：M′→M．當(dāng)點(diǎn)M′在線段A′B′上從點(diǎn)A′開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B′結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)度為

 

．

Answer 1

分析：本題以定義的一種新的變換為入手點(diǎn)，主要考查直線與圓的有關(guān)知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是弄懂定義的本質(zhì)，由定義的新法則f：P/(m，n)→P(

m

，

n

)，(m≥0，n≥0)．點(diǎn)A′（1，3）與點(diǎn)B′（3，1），點(diǎn)M′是線段A′B′上一動(dòng)點(diǎn)，而不難知道由變換得到點(diǎn)的軌跡是圓的一部分．然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式，易得答案．

解答：解：由題意知A′B′的方程為：x+y=4，
設(shè)M′（x，y），則M（x²，y²），
從而有x²+y²=4，
易知A/(1，3)→A(1，

3

)，
B/(3，1)→B(

3

，1)，
不難得出∠AOX=

π

3

，
∠BOX=

π

6

，
則∠AOB=

π

6

，
點(diǎn)M′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長(zhǎng)度為2π×2×

1

12

=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：這是一道新運(yùn)算類的題目，其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，易得最終結(jié)果．弄懂定義的本質(zhì)是解題關(guān)鍵；針對(duì)本題，通過閱讀題意，不難知道由變換得到點(diǎn)的軌跡是圓的一部分．