Question

如圖，在斜三棱柱中，O是AC的中點(diǎn)，平面，，.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線面垂直的證明、二面角、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力、邏輯推理論證能力和計(jì)算能力.第一問，利用線面垂直的性質(zhì)得，由已知，利用線面垂直的判定得平面，所以BC垂直面內(nèi)的線，又由于四邊形是菱形，所以，所以利用線面垂直的判定得平面；第二問，通過已知條件中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法求出面與面的法向量，再利用夾角公式，求出二面角的余弦值.
試題解析： （1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824041511546458.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．
又，所以平面，所以．     2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824041511936542.png" style="vertical-align:middle;" />，所以四邊形是菱形，所以．
所以平面，
所以．      5分
（2）以為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0，－1，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，C₁(0，2，)．
，，
設(shè)是面的一個(gè)法向量，則，
即取．
同理面的一個(gè)法向量為．     10分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240415122481231.png" style="vertical-align:middle;" />．
所以二面角的余弦值．     12分