Question

6．已知⊙C經(jīng)過A（2，1），B（3，0），C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求⊙C的方程；
（2）過原點作直線l交⊙C于M，N兩點，若$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{MN}$，求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，代入點的坐標，即可求⊙C的方程；
（2）設(shè)MN=x，OM=2x（x＞0），則由割線定理可得2x•3x=1•3，可得圓心到直線的距離，即可求直線l方程．

解答 解：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則$\left\{\begin{array}{l}{5+2D+E+F=0}\\{9+3D+F=0}\\{3+\frac{3}{2}D+\frac{\sqrt{3}}{2}E+F=0}\end{array}\right.$，
∴D=-4，E=0，F(xiàn)=3，
∴⊙C的方程為x²+y²-4x+3=0；
（2）x²+y²-4x+3=0可化為（x-2）²+y²=1．
設(shè)MN=x，OM=2x（x＞0），則由割線定理可得2x•3x=1•3，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴圓心到直線的距離d=$\sqrt{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
設(shè)直線l的方程為y=kx，即kx-y=0，∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{5}$，∴直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{5}$x．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．