Question

已知函數(shù)＝＋有如下性質(zhì)：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，＋∞上是增函數(shù)．

（Ⅰ）如果函數(shù)＝＋（＞0）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821450476845968/SYS201209182145424867451118_ST.files/image008.png">6，＋∞，求的值；

（Ⅱ）研究函數(shù)＝＋（常數(shù)＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；

（Ⅲ）對函數(shù)＝＋和＝＋（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)（是正整數(shù)）在區(qū)間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∴b=log₂9.  （Ⅱ）該函數(shù)在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0

上是增函數(shù)  （Ⅲ）當(dāng)或時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)取得最小值8.

【解析】本題考查函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于緊扣題干所給函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，并利用其解題．

(1）因?yàn)楹瘮?shù)y=x+(x>0)的最小值是2，則2=6,

∴b=log₂9

(2)利用單調(diào)性定義可知設(shè)0<x₁<x₂,y₂－y₁=，那么得到單調(diào)性的討論。

(3) 可以把函數(shù)推廣為y=(常數(shù)a>0),其中n是正整數(shù).

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),

在(－∞,－]上是增函數(shù), 在[－,0)上是減函數(shù)；

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),

在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0)上是增函數(shù)