Question

如圖，是半徑為2，圓心角為的扇形，是扇形的內(nèi)接矩形.

（Ⅰ）當(dāng)時，求的長；

（Ⅱ）求矩形面積的最大值.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  （Ⅱ） 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由圖形的對稱性作出輔助線，用三角函數(shù)求出相關(guān)線段長度；（Ⅱ）設(shè)∠EOC＝θ，與（Ⅰ）類似用三角函數(shù)表示出相關(guān)線段長度和矩形ABCD的面積，繼而求關(guān)于θ的三角函數(shù)的最大值.

試題解析：如圖，記的中點(diǎn)為E，連結(jié)OE，OC，交BC于F，交AD于G，則∠DOG＝60°．

設(shè)∠EOC＝θ（0°＜θ＜60°）．

（Ⅰ）當(dāng)＝時，θ＝30°．

在Rt△COF中，OF＝OCcos30°＝，CF＝OCsin30°＝1．

在Rt△DOG中，DG＝CF＝1，OG＝＝．

所以CD＝GF＝OF－OG＝．

（Ⅱ）與（Ⅰ）同理，

BC＝2CF＝4sinθ，CD＝OF－OG＝2cosθ－＝2cosθ－sinθ．

則矩形ABCD的面積

S＝BC·CD＝4sinθ(2cosθ－sinθ)＝4sin2θ－ (1－cos2θ)＝sin(2θ＋30°)－．

因?yàn)?0°＜2θ＋30°＜150°，故當(dāng)2θ＋30°＝90°，

即θ＝30°時，S取最大值．

考點(diǎn)：1、三角函數(shù)恒等變形；2、三角函數(shù)的計算和應(yīng)用.