Question

1．在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2$\sqrt{3}$，BA=BS=4．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面SAD；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面SAB的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：AD⊥BD，SA⊥BD，即可證明BD⊥平面SAD；
（Ⅱ）利用等體積方法，求點(diǎn)C到平面SAB的距離．

解答 （Ⅰ）證明：△ADB中，由余弦定理可得BD=2，∴BD²+AD²=AB²，∴AD⊥BD．
取SD的中點(diǎn)E，連接DE，BE，則DE⊥SA，BE⊥SA，
∵DE∩BE=E，∴SA⊥平面BDE，
∴SA⊥BD，
∵SA∩AD=A，
∴BD⊥平面SAD；
（Ⅱ）解：點(diǎn)C到平面SAB的距離=點(diǎn)D到平面SAB的距離h．
△SAD中，SAD=30°，AD=SD=2$\sqrt{3}$，∴S_△SAD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
△SAB中，BA=BS=4，SA=6，∴S_△SAB=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{16-9}$=3$\sqrt{7}$，
由等體積可得$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×2=\frac{1}{3}×3\sqrt{7}h$，∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的毆打，考查點(diǎn)面距離，考查體積的計(jì)算，屬于中檔題．