Question

某種家用電器的銷售利潤與該電器的無故障使用時(shí)間有關(guān)．每臺(tái)這種家用電器，若無故障使用時(shí)間不超過一年，則銷售利潤為0元；若無故障使用時(shí)間超過一年不超過三年，則銷售利潤為100元；若無故障使用時(shí)間超過三年，則銷售利潤為200元．己知每臺(tái)這種家用電器無故障使用時(shí)間不超過一年的概率為，無故障使用時(shí)間超過一年不超過三年的概率為．記ξ表示銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤總和．
（Ⅰ） 求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）設(shè)“函數(shù)在區(qū)間（2，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）ξ的可能取值為0，100，200，300，400．（1分）
P（ξ=0）=×=，
P（ξ=100）=2××=，
P（ξ=200）=2××+×=，
P（ξ=300）=2××=，
P（ξ=400）=×=；
隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	100	200	300	400
p

所求的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×+100×+200×+300×+400×=240（元）
所以隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為240元．
（Ⅱ）∵函數(shù)在區(qū)間（2，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且對(duì)稱軸
∴得，
于是ξ=200，
∴因此事件A發(fā)生的概．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，分析可得ξ的可能取值為0，100，200，300，400；由相互獨(dú)立事件的概率，計(jì)算可得ξ取不同值的概率，即可得其分布列，進(jìn)而有期望的求法，計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）依據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的對(duì)稱軸，可得∴，解可得ξ的范圍，結(jié)合（Ⅰ）的分布列，可得ξ的值，同時(shí)可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算，要求學(xué)生不但能夠計(jì)算，還要會(huì)進(jìn)一步的應(yīng)用；解題時(shí)注意（Ⅱ）要依據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論．