Question

已知動點P與雙曲線x²-y²=1的兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為-

1

3

．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設M（0，-1），若斜率為k（k≠0）的直線l與P點的軌跡交于不同的兩點A、B，若要使|MA|=|MB|，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓定義可知，所求動點P的軌跡為以F₁，F₂為焦點的橢圓，再結合余弦定理求出橢圓中的a，b的值即可．
（2）設出A，B點的坐標，以及直線AB的方程，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用斜率公式及根的判別式即可求得k的取值范圍，從而解決問題．

解答：解：（1）∵x²-y²=1，∴c=

2

．設|PF₁|+|PF₂|=2a（常數a＞0），2a＞2c=2

2

，∴a＞

2

由余弦定理有cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

2a2-4

|PF1||PF2|

-1
∵|PF₁||PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，∴當且僅當|PF₁|=|PF₂|時，|PF₁||PF₂|取得最大值a²．
此時cos∠F₁PF₂取得最小值

2a2-4

a2

-1，由題意

2a2-4

a2

-1=-

1

3

，解得a²=3，∴b²=a²-c²=3-2=1
①②
∴P點的軌跡方程為

x2

3

+y²=1．
（2）設l：y=kx+m（k≠0），則由，

x2 3 +y2=1 y=kx+m

將②代入①得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0  （*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB中點Q（x₀，y₀）的坐標滿足：x₀=

x1+x2

2

=

-3km

1+3k2

，y0=kx0+m=

m

1+3k2

即Q（-

3km

1+3k2

，

m

1+3k2

）∵|MA|=|MB|，∴M在AB的中垂線上，
∴k_lk_AQ=k•

m 1+3k2

- 3km 1+3k2

=-1，解得m=

1+3k2

2

 …③又由于（*）式有兩個實數根，知△＞0，
即 （6km）²-4（1+3k²）[3（m²-1）]=12（1+3k²-m²）＞0  ④，將③代入④得
12[1+3k²-（

1+3k2

2

）²]＞0，解得-1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范圍是k∈（-1，0）∪（0，1）．

點評：本體考查了定義法求軌跡方程，以及直線與圓位置關系的應用．關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理進行求解．