Question

（2006•蚌埠二模）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中點，H為平面EDB
內(nèi)一點，

HC1

=（2m，-2m，-m）（m＜0）．
（1）證明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁與平面EDB所成的角；
（3）若正方體的棱長為a，求三棱錐A-EDB的體積．

Answer 1

分析：（1）要證明HC₁⊥平面EDB即可利用線面垂直的判定定理即證明

HC1

⊥

DE

 ， 

HC1

⊥

DB

故需建立空間直角坐標系求出相應(yīng)點的坐標然后利用向量的數(shù)量積進行計算即可．
（2）要求BC₁與平面EDB所成的角可先求出BC₁與平面EDB的法向量所成的角θ然后利用直線與平面所成的角與直線與其法向量所成的角的關(guān)系即可得解而由第一問可得

HC1

即為平面EDB的法向量．
（3）要求三棱錐A-EDB的體積可輪換其頂點即求三棱錐E-ADB的體積．

解答：證明：（1）設(shè)正方體的棱長為a，則

DE

={ 

a

2

 ， 0 ， a }，

DB

={ a ， a ， 0 }
∵

HC1

•

DE

=0 ， 

HC1

•

DB

=0
∴

HC1

⊥

DE

 ， 

HC1

⊥

DB

又∵DE∩DB=D
∴HC₁⊥平面EDB．
（2）

BC1

={ -a ，0 ， a }，設(shè)

BC1

與

HC1

所成的角為θ
∵cosθ=

BC1 • HC1

|  BC1 | • |  HC1 |

=

2ma+ma

2 a • 3m

=

2

2

∴θ=45°．
由（1）知HC₁⊥平面EDB
∴∠C₁BH為BC₁與平面EDB所成的角
∴∠C₁BH=90°-45°=45°
（3）VA-EDB=VE-ABD=

1

3

•

1

2

a2•a=

1

6

a3．

點評：本題主要考查了利用空間向量證明線面垂直以及求直線與平面所成的角并且附帶考查求三棱錐的體積．解題的關(guān)鍵是首先依據(jù)所給圖形建立空間直角坐標系然后對于第一問只需利用向量的數(shù)量積證明出

HC1

•

DE

=0 ， 

HC1

•

DB

=0即可說明HC₁⊥平面EDB而對于第二問可根據(jù)線面角向量的求法可先求根據(jù)向量的夾角公式求出

BC1

與

HC1

（由第一問可得

HC1

即為平面EDB的法向量）所成的角為θ然后根據(jù)cosθ＞0則BC₁與平面EDB所成的角為90°-θ，若cosθ＜0則BC₁與平面EDB所成的角θ-90°．第三問可根據(jù)輪換三棱錐的頂點其體積不變可對要求三棱錐A-EDB的體積即求三棱錐E-ADB的體積．