Question

若

A

n 9

=12

A

n-2 9

（n∈N），且(2-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，求：
（1）n的值
（2）a₁+a₂+…+a_n
（3）（2-x）ⁿ的展開式中所有偶數(shù)項系數(shù)的和．

Answer 1

分析：（1）由題意可把原方程變形為

9!

(9-n)!

=12

9!

(11-n)!

，可解出n的值．再由n滿足：

0≤n≤9 0≤n-2≤9

，
進一步確定n的值．
（2）令x=1得a₀+a₁+a₂+…a_n=1．令x=0得a0=27=128，從而求得a₁+a₂+…+a_n的值．
（3）所有偶數(shù)項系數(shù)之和即為：a₁+a₃+a₅+a₇，令x=1得a₀+a₁+a₂+…a_n=1，令x=-1，可得a0-a1+a2-…-a7=37，聯(lián)立兩式解出偶數(shù)項的系數(shù)和．

解答：解：（1）由題意可把原方程變形為

9!

(9-n)!

=12

9!

(11-n)!

，可解出n=7或n=14．
又因為n滿足：

0≤n≤9 0≤n-2≤9

所以2≤n≤9，∴n=7．…（4分）
（2）令x=1得a₀+a₁+a₂+…a_n=1．
令x=0得a0=27=128，∴a₁+a₂+…+a_n=-127．…（8分）
（3）所有偶數(shù)項系數(shù)之和即為：a₁+a₃+a₅+a₇
令x=1得a₀+a₁+a₂+…a_n=1．
令x=-1得a0-a1+a2-…-a7=37
聯(lián)立兩式解出偶數(shù)項的系數(shù)和為 a1+a3+a5+a7=

1-37

2

=-1093．…（12分）

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．