Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（1）求數(shù)列{a_n}的前20項(xiàng)和S₂₀；
（2）確定S_n與4n²+2n的大小關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹與S_n-1=2a_n-1-2ⁿ兩式整理得a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），兩邊同時(shí)除以2ⁿ可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過記T_n=4n²+2n，計(jì)算可知當(dāng)1≤n≤2時(shí)S_n＜4n²+2n，當(dāng)n≥3時(shí)，通過對(duì)f（x）=x•2^x+1-（4x²+2x）求導(dǎo)可知當(dāng)x≥3時(shí)f′（x）＞0，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，
整理得：a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
又∵S₁=2a₁-2²，即$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹=S_n=2（n+1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{a_n}的前20項(xiàng)和S₂₀=20•2²¹；
（2）結(jié)論：當(dāng)n≥3時(shí)S_n＞4n²+2n，當(dāng)1≤n≤2時(shí)S_n＜4n²+2n．
理由如下：
記T_n=4n²+2n，則T₁=6，T₂=20，T₃=42，
又∵S₁=4，S₂=16，S₃=48，
∴當(dāng)1≤n≤2時(shí)S_n＜4n²+2n，
當(dāng)n≥3時(shí)，記f（x）=x•2^x+1-（4x²+2x），
則f′（x）=2^x+1+x•2^x+1ln2-8x-2-（1+xln2）2^x+1-8x-2，
顯然，當(dāng)x≥3時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)n≥3時(shí)S_n＞4n²+2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，涉及利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)比較大小，注意解題方法的積累，屬于中檔題．