Question

已知函數(shù)
（1）若a=-4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）記函數(shù)g（x）=x²f′（x），若g（x）的最小值是，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=-4代入函數(shù)的解析式，先求函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)在不同區(qū)間上的取值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可得結(jié)論；
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥在[1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=并求出其最小值，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2的最小值是，由此構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程求出a值，可得f（x）的解析式．
解答：解：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，，（x＞0）
==
令f′（x）=0，則x=
∵x∈（0，）時(shí)，f′（x）＜0，∵當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴（0，）為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，
∴（，+∞）為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）∵f′（x）=
若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即2x³+ax-2≥0在[1，+∞）上恒成立
即a≥在[1，+∞）上恒成立
令h（x）=，則h′（x）=＜0恒成立
故h（x）=在[1，+∞）上單調(diào)遞減
當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取最大值0
故a≥0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）
（3）g（x）=x²f′（x）=2x³+ax-2
則g′（x）=6x²+a，
當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）≥0恒成立
此時(shí)g（x）在定義域（0，+∞）上無最小值
當(dāng)a＜0時(shí)，令g′（x）=6x²+a=0
則x=
∵x∈（0，）時(shí)，f′（x）＜0，∵當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴（0，）為函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，
∴（，+∞）為函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)x=時(shí)，g（x）的最小值g（）==，
解得a=-
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)解析式的求解及常用方法，其中熟練掌握導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，并又此分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．