Question

設點P(0 ， 

9

2

)，動點A，B在橢圓

x2

18

+

y2

9

=1上且滿足

PA

=λ

PB

，則λ的取值范圍是

[

1

5

，5]

．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線AB方程y=kx+

9

2

與橢圓方程聯(lián)解利用根與系數(shù)的關系可得：（1+λ）x₂=

-18k

2k2+1

，x₁x₂=λx₂²=

45

2(2k2+1)

，化簡得

(1+λ)2

λ

=

72k2

5(2k2+1)

，根據(jù)右邊對應函數(shù)的單調(diào)性建立關于λ的不等式，解之即可得到實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，

9

2

）
∵

PA

=λ

PB

，
∴（x₁，y₁-

9

2

）=λ（x₂，y₂-

9

2

），可得x₁=λx₂，
設直線AB方程為y=kx+

9

2

與橢圓

x2

18

+

y2

9

=1消去y得（2k²+1）x²+18kx+

45

2

=0，
x₁+x₂=（1+λ）x₂=

-18k

2k2+1

，…（1）；x₁x₂=λx₂²=

45

2(2k2+1)

，…（2）
將（1）、（2）消去x₂，得

(1+λ)2

λ

=

72k2

5(2k2+1)

∵方程（2k²+1）x²+18kx+

45

2

=0有實數(shù)根，
∴△=（18k）²-4（2k²+1）×

45

2

≥0，整理得k²≥

5

8

，
∵F（k²）=

72k2

5(2k2+1)

=

36

5

-

36

5(2k2+1)

是關于k²的增函數(shù)
∴4≤F（k²）≤

36

5

，可得4≤

(1+λ)2

λ

≤

36

5

，解之得

1

5

≤λ≤5．
即實數(shù)λ的取值范圍是[

1

5

，5]
故答案為：[

1

5

，5]

點評：本題給出橢圓經(jīng)過點P的一條弦AB滿足

PA

=λ

PB

，求參數(shù)λ的取值范圍．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．