Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²-|ax-2|，x∈[-1，2]，
（Ⅰ）當a=6時，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）設0＜a≤4，求函數(shù)f（x）最小值g（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=6時，分類討論，去掉絕對值符號，即可求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）設0＜a≤4，分類討論，去掉絕對值符號，利用對稱軸和區(qū)間之間的關系求函數(shù)f（x）最小值g（a）．

解答 解：（Ⅰ）當a=6時，$f（x）={x^2}-|6x-2|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+6x-2={（x+3）^2}-11，\;\;-1≤x＜\frac{1}{3}\\{x^2}-6x+2={（x-3）^2}-7，\;\;\frac{1}{3}≤x＜2\end{array}\right.$，
當$-1≤x＜\frac{1}{3}$時，$f（x）∈[-7，\frac{1}{9}]$；
當$\frac{1}{3}≤x＜2$時，$f（x）∈[-6，\frac{1}{9}]$，
函數(shù)f（x）的值域為$[-7，\frac{1}{9}]$．
（Ⅱ）$f（x）={x^2}-|ax-2|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+ax-2={（x+\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}-2，\;\;x＜\frac{2}{a}\\{x^2}-ax+2={（x-\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}+2，\;\;x≥\frac{2}{a}\end{array}\right.$
（1）當0＜a＜1時，$\frac{2}{a}＞2$，$-\frac{1}{2}＜-\frac{a}{2}＜0$，
此時當x∈[-1，2]時，f（x）=x²+ax-2
在$[-1，-\frac{a}{2}]$上單調遞減，在$（-\frac{a}{2}，2]$上單調遞增，
所以$g（a）=f（-\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-2$；
（2）當1≤a≤2時，$\frac{2}{a}≥\frac{a}{2}$，$-1≤-\frac{a}{2}≤-\frac{1}{2}$f（x）在$[-1，-\frac{a}{2}]$上單調遞減，在$（-\frac{a}{2}，2]$上單調遞增，
所以$g（a）=f（-\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-2$；
（3）當2＜a≤4時，$\frac{2}{a}＜\frac{a}{2}$，$-2≤-\frac{a}{2}＜-1$f（x）在$[-1，\frac{2}{a}]$上單調遞增，在$（\frac{2}{a}，\frac{a}{2}]$上單調遞減，
在$（\frac{a}{2}，2]$上單調遞增，所以$g（a）=min\{f（-1），f（\frac{a}{2}）\}$，$f（-1）-f（\frac{a}{2}）=（-a-1）-（-\frac{a^2}{4}+2）=\frac{1}{4}{（a-2）^2}-4＜0$，
所以$f（-1）＜f（\frac{a}{2}）$，故g（a）=f（-1）=-a-1；
綜上所述：$g（a）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{a^2}{4}-2，\;\;0＜a≤2\\-a-1，\;\;2＜a≤4\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質，要求熟練掌握對稱軸和區(qū)間之間的關系．