Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)（n∈N^*），求證：3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²＜ln（n+1）+2n．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax?（x＞0），則（x＞0）．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．即在（0，+∞）上恒成立．
所以．
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．
所以時(shí)．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：．

（Ⅱ）令a=3，則f（x）=lnx+x²-3x．=．
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
所以．
所以．
所以．
即．
所以3a₁-a₁²＜2+ln（1+1），，，
．
所以3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²=（3a₁-a₁²）+（3a₂-a₂²）+…+（3a_n-a_n²）＜2n+ln（n+1）．
故所證不等式成立．
分析：（Ⅰ）求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為增函數(shù)，所以f′（x）大于等于0恒成立，解出a小于等于一個(gè)函數(shù)，求出這個(gè)函利用基本不等式求出此函數(shù)的最小值即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）令a=3化簡f（x），求出f′（x），因?yàn)楫?dāng)x大于1時(shí)導(dǎo)函數(shù)大于0，所以函數(shù)在大于1時(shí)為增函數(shù)，所以由1+大于1得到f（1+）大于f（1），分別表示出代入化簡后得到即，列舉出各項(xiàng)即可得證．
點(diǎn)評：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值，掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用，是一道中檔題．