Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)，,．

??????（Ⅰ） 求函數(shù)的極大值點與極小值點；??（Ⅱ） 若函數(shù)在上有零點，求的最大值（ 為自然對數(shù)的底數(shù)）；??????（Ⅲ） 設(shè)（），試問數(shù)列中是否存在相等的兩項？若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 為的極大值點，  為 的極小值點   (Ⅱ) -2（Ⅲ）

解析:

：（1）由題知：的定義域為（0,+∞）

∵

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為　,的單調(diào)遞減區(qū)間為，

所以為的極大值點，  為 的極小值點．

（2）∵在∈上的最小值為

且=

∴在∈上沒有零點，

∴函數(shù)在上有零點，并考慮到在單調(diào)遞增且在單調(diào)遞減，故只須且即可，易驗證

，當(dāng)≤-2且∈Z時均有，所以函數(shù)在上有零點，

即函數(shù)在上有零點,∴的最大值為-2．

（3）利用導(dǎo)數(shù)易證，當(dāng)時, 所以．  因為，所以

令，得：，結(jié)合得：

因此，當(dāng)時，有，

所以當(dāng)時，，即：，

又通過比較、、、的大小知：，

因為，且時，所以若數(shù)列中存在相等的兩項，只能是、與后面的項可能相等，又，，所以數(shù)列中存在唯一相等的兩項，

即：．