已知函數(shù)f(x)對于一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0
(I)求f(0)的值;
(II)求f(x)的解析式;
(III)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(a-3)x+a,如果函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(-1,1)上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(I)在f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)中,由f(1)=0,令x=1,y=0可得f(1)-f(0)=1×(1+0+1),由此解得f(0)的值.
(II)令y=-x,求得 f(-x)的解析式,即可求得 f(x) 的解析式.
(III)由題意可得,g(-1)g(1)=(-2+3)[0+(a-3+a)]<0,解得 a<
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,即為所求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(I)∵f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,令x=1,y=0可得f(1)-f(0)=1×(1+0+1),
即 0-f(0)=2,解得f(0)=-2.
(II)令y=-x,可得 f(0)-f(-x)=x(1-x),即 f(-x)=x2-x-2,∴f(x)=x2+x-2.
(III)由于函數(shù)g(x)=f(x)+(a-3)x+a 在區(qū)間(-1,1)上有零點(diǎn),則有g(shù)(-1)g(1)=(-2+3)[0+(a-3+a)]<0,
解得 a<
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,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,
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).
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用,求函數(shù)的解析式和函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.
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已知函數(shù)f(x)對于一切實(shí)數(shù)m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)成立,且f(1)=2,則f(-2)=
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已知函數(shù)f(x)對于任意x,y∈R總有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-
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,
(1)求證:f(x)是R上的奇函數(shù).
(2)求證f(x)在R上是減函數(shù).
(3)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)對于任意m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且當(dāng)x>0時(shí)f(x)>1.
(1)求證:函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù);
(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)對于任意的x∈R,都滿足f(-x)=f(x),且對任意的a,b∈(-∞,0],當(dāng)a≠b時(shí),都有
f(a)-f(b)a-b
<0.若f(m+1)<f(2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
 

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