Question

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(

x

a

-1)2+(

b

x

-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k²，b=（k+c）²時(shí)，記f（x）=f₁（x）；當(dāng)a=（k+c）²，b=（k+2c）²時(shí)，記f（x）=f₂（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞

4c2

k(k+c)

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，f(x)=(x-1)2+(

2

x

-1)2=（x²+

4

x2

）-2（x+

2

x

）+2，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用單調(diào)性，可求f（x）的最小值；
（2）f（x）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，等價(jià)于f（x）_min≥2^m-1，函數(shù)可化為f(x)=(

x

a

-1)2+(

b

x

-1)2=(

x

a

+

b

x

)2-2（

x

a

+

b

x

）-

2b

a

+2，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）利用基本不等式可得

1

2

（a²+b²）≥(

a+b

2

)2，從而可得(

x

a

-1)2+(

b

x

-1)2＞

1

2

(

x

a

+

b

x

-2)2＞2(

b a

-1)2，利用條件再利用基本不等式，即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，f(x)=(x-1)2+(

2

x

-1)2=（x²+

4

x2

）-2（x+

2

x

）+2
令x+

2

x

=t（t≥2

2

），y=t²-2t-2=（t-1）²-3
∴函數(shù)在[2

2

，+∞）上單調(diào)增，∴y≥6-4

2

∴f（x）的最小值為6-4

2

；
（2）f（x）≥2^m-1對任意0＜a＜b恒成立，等價(jià)于f（x）_min≥2^m-1
f(x)=(

x

a

-1)2+(

b

x

-1)2=(

x

a

+

b

x

)2-2（

x

a

+

b

x

）-

2b

a

+2
令

x

a

+

b

x

=t（t≥2

b a

），則y=t²-2t-

2b

a

+2
∴函數(shù)在[2

b a

，+∞）上單調(diào)增，∴y≥2(

b

a

-2

b a

+1)＞0
∴0≥2^m-1
∴m≤0；
（3）因?yàn)?span id="ypq27l5" class="MathJye">

1

2

（a²+b²）≥(

a+b

2

)2，所以(

x

a

-1)2+(

b

x

-1)2＞

1

2

(

x

a

+

b

x

-2)2＞2(

b a

-1)2
當(dāng)a=k²，b=（k+c）²時(shí)，

b

a

=(1+

c

k

)2；當(dāng)a=（k+c）²，b=（k+2c）²時(shí)，

b

a

=(1+

c

k+c

)2
所以f₁（x）+f₂（x）＞2（

c

k

）²+2（

c

k+c

）²）＞

4c2

k(k+c)

（因?yàn)?＜a＜b，所以等號(hào)取不到）

點(diǎn)評：本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，多次應(yīng)用了基本不等式，注意等號(hào)成立的條件．