Question

f（x）是定義在（0，+∞）的函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y）；當(dāng)x＞1是有f（x）＜0；f（3）=-1
（1）求f（1）和f（

1

9

）的值；
（2）證明f（x）在x＞0上是減函數(shù)；
（3）解不等式f（x）+f（2-x）＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）對(duì)于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（

1

9

）的值；
（2）且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性．
（3）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，解不等式即可求得結(jié)果．

解答： （1）解：令x=y=1，得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，得f（

1

9

）=2．
（2）證明：若0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0
∴f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
（3）∵f（x）+f（2-x）＜2，
∴f（x（2-x））＜f（

1

9

），
∴

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9

，
解得1-

2 2

3

＜x＜1+

2 2

3

，
故不等式的解集為（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義探討抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，對(duì)于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點(diǎn)的函數(shù)值和證明不等式等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．