f（x）是定義在（0，+∞）的函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y）；當(dāng)x＞1是有f（x）＜0；f（3）=-1
（1）求f（1）和f（
1
9
）的值；
（2）證明f（x）在x＞0上是減函數(shù)；
（3）解不等式f（x）+f（2-x）＜2．
考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）對于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（
1
9
）的值；
（2）且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性．
（3）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，解不等式即可求得結(jié)果．
解答： （1）解：令x=y=1，得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f（9）+f（
1
9
）=f（1）=0，得f（
1
9
）=2．
（2）證明：若0＜x1＜x2，則
x2
x1
＞1，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0
∴f（
x2
x1
）＜0，
∴f（x2）=f（
x2
x1
•x1）=f（
x2
x1
）+f（x1）＜f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
（3）∵f（x）+f（2-x）＜2，
∴f（x（2-x））＜f（
1
9
），
∴
x＞0
2-x＞0
x(2-x)＞
1
9
，
解得1-
2
2
3
＜x＜1+
2
2
3
，
故不等式的解集為（1-
2
2
3
，1+
2
2
3
）
點(diǎn)評：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義探討抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，對于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點(diǎn)的函數(shù)值和證明不等式等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=-x+log2
1-x
1+x
．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（-
1
2012
）+f（
1
2012
）；
（3）當(dāng)x∈（-a，a]（其中a∈（-1，1）且a為常數(shù)）時(shí)f（x）是否存在最小值？如果存在，求出最小值，如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知AD、BE分別是△ABC的邊BC、AC上的中線，設(shè)
AD
=
a
，
BE
=
b
，且
BC
=λ
a
+μ
b
，則λ+μ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=log2（2x-x2）的單調(diào)遞增區(qū)間是
 
，單調(diào)遞減區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c均為非零實(shí)數(shù)，集合A={x|x=
|a|
a
+
b
|b|
+
ab
|ab|
}，則集合A的元素的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、2B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-
1
2
ax2+
2
3
a（a＞0）
（1）試求計(jì)論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)F（x）=
f(x)
x
在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，若f（x）=lnx+ax2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），期中常數(shù)ω＞0．
（1）若ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位，得到的函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）；
（2）若y=f（x）在[-
π
4
，
2π
3
]上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（3）對（1）中個(gè)g（x），區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin
x
2
cos
x
2
+cos2
x
2
-1．
（1）求值f（
π
3
）；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值．

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同步練習(xí)冊答案