Question

2．平面外ABC的一點(diǎn)P，AP、AB、AC兩兩互相垂直，過(guò)AC的中點(diǎn)D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，連接BP，BE，多面體B-PADE的體積是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（1）畫(huà)出面PBE與面ABC的交線，說(shuō)明理由；
（2）求BE與面PADE所成的線面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)PE交AC于F，可證F與C重合，故直線BC即為面PBE與面ABC的交線；
（2）連接AE，則∠BEA為所要求的角，根據(jù)棱錐的體積計(jì)算AB，利用勾股定理計(jì)算AE，則tan∠BEA=$\frac{AB}{AE}$．

解答 解：（1）延長(zhǎng)PE交AC于F
∵AP、AB、AC兩兩互相垂直，∴PA⊥平面ABC，
∵DE⊥平面ABC，
∴DE∥PA，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{DE}{PA}=\frac{1}{2}$，
∴F與C重合．
∵C∈PE，C∈AC，PE?平面PBE，AC?平面ABC，
∴C是平面PBE和平面ABC的公共點(diǎn)，
又B是平面PBE和平面ABC的公共點(diǎn)，
∴BC是面PBE與面ABC的交線．
（2）連接AE，
∵AP、AB、AC兩兩互相垂直，
∴AB⊥平面PAC，∴∠BEA為BE與平面PAD所成的角，
∴V_B-PADE=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ADEP}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（1+2）×1×AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
又∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴tan∠BEA=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴BE與面PADE所成的線面角為arctan$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面的性質(zhì)，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．