Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x．若對(duì)任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f³（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

（-∞，-2]

．

Answer 1

分析：由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x．函數(shù)是奇函數(shù)，可得當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-2^-x，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足f³（x）=f（3x），再根據(jù)不等式f（x+t）≥f³（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，可得x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即可得出答案．

解答：解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x．
∵函數(shù)是奇函數(shù)
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-2^-x
∴f（x）=

2x，x＞0 0，x=0 -2-x，x＜0

，
∴f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
且滿足f³（x）=f（3x），
∵不不等式f（x+t）≥f³（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，
∴x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，
即：x≤

1

2

t在[t，t+1]恒成立，
∴t+1≤

1

2

t
解得：t≤-2，
故答案為：（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題及函數(shù)的奇偶性，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性．