Question

已知圓，橢圓．

（Ⅰ）若點在圓上，線段的垂直平分線經(jīng)過橢圓的右焦點，求點的橫坐標(biāo)；

（Ⅱ）現(xiàn)有如下真命題：

“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”；

“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”．

據(jù)此,寫出一般結(jié)論，并加以證明．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）一般結(jié)論為: “過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直．”

【解析】

試題分析：解法一：

（Ⅰ）設(shè)點，則， （1）　  1分

設(shè)線段的垂直平分線與相交于點，則，    2分

橢圓的右焦點，       3分

,， ，

， （2）             4分

由（1），（2），解得 ，點的橫坐標(biāo)為．      5分

（Ⅱ）一般結(jié)論為：

“過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直．”  6分

證明如下：

（ⅰ）當(dāng)過點與橢圓相切的一條切線的斜率

不存在時，此時切線方程為，

點在圓上 ，，

直線恰好為過點與橢圓相切的另一條切線

兩切線互相垂直．         7分

（ⅱ）當(dāng)過點與橢圓相切的切線的斜率存在時，

可設(shè)切線方程為，

由得 ，

整理得，     8分

直線與橢圓相切，

，

整理得，       9分

，          10分

點在圓上，， ，，兩切線互相垂直，

綜上所述，命題成立．         13分

解法二：

（Ⅰ）設(shè)點，則， （1）       1分

橢圓的右焦點，        2分

點在線段的垂直平分線上， ，

 ， ， （2）     4分

由（1），（2），解得， 點的橫坐標(biāo)為．     5分

考點：直線與橢圓的位置關(guān)系

點評：主要是考查了橢圓的性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用，屬于中檔題。