如圖所示,某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道,車道總寬22米,要求通行車輛限高4.5米,隧道全長2.5千米,隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀.

(1)

若最大拱高h(yuǎn)為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少?

(2)

  若最大拱高h(yuǎn)不小于6米,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l,才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最小?

  (半個(gè)橢圓的面積公式為S=lh,柱體體積為:底面積乘以高.本題結(jié)果均精確到0.1米)

答案:
解析:

(1)

  解析:如圖所示建立直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)P(11,4.5)

  橢圓方程為+=1.

  將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程,

  得a=,此時(shí)l=2a=≈33.3.

  因此隧道的拱寬約為33.3米.

(2)

  方法一:由橢圓方程+=1,得+=1

  因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0007/0249/de77030c1edde1f2464a62af42a71607/C/Image268.gif" width=26 HEIGHT=44>+即ab≥99,且l=2a,h=b.

  所以S=lh-

  當(dāng)S取最小值時(shí),有==

  得a=11.b=

  此時(shí)l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.

  故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí),土方工程量最小.

  方法二:由橢圓方程+=1,得+=1

  于是b2·

  a2b2(a2-121++242)

    ≥=(2+242)=81×121

  即ab≥99,當(dāng)S取最小值時(shí),有a2-121=.得a=11,b=,以下同方法一.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

同步練習(xí)冊答案