Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+aln（2-x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域及其導(dǎo)數(shù)f'（x）；
（Ⅱ）當(dāng)a≥-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時，令g（x）=f（x）+mx（m＞0），若g（x）在（0，1]上的最大值為

1

2

，求實數(shù)m的值．

Answer 1

（Ⅰ）由

x＞0 2-x＞0

得0＜x＜2，即函數(shù)的定義域為（0，2）；
f′(x)=

1

x

-

a

2-x

．
（Ⅱ）當(dāng)a≥-1時，f′(x)=

1

x

-

a

2-x

=

2-(a+1)x

x(2-x)

當(dāng)a=-1時，f′(x)=

2

x(2-x)

，所以在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）；
當(dāng)a＞-1時，令f′(x)=

2-(a+1)x

x(2-x)

=0，解得x=

2

a+1

，
①當(dāng)

2

a+1

≥2時，即-1＜a≤0時，在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）；
②當(dāng)0＜

2

a+1

＜2時，即a＞0時，在區(qū)間(0，

2

a+1

)上，f'（x）＞0，
在區(qū)間(

2

a+1

，2)上，f'（x）＜0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

2

a+1

)，單調(diào)遞減區(qū)間是(

2

a+1

，2)．
（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，1]且m＞0時，g′(x)=

1

x

-

1

2-x

+m=

2(1-x)

x(2-x)

+m＞0，
即函數(shù)在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，故函數(shù)g（x）在（0，1]上的最大值為g（1），
所以g(1)=m=

1

2

，即m=

1

2

．