Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，a₁a₃=6a₂，且a₁，a₂，a₃-8成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

n(n+1)

an

，求證：b_n≤1．

Answer 1

分析：（1）由a₁a₃=6a₂，得a₂=6，由a₁，a₂，a₃-8成等差數(shù)列，得a₁+（a₃-8）=2a₂，即

6

q

+6q-8=12，
可求出q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n；
（2）由（1）可得b_n=

n(n+1)

2•3n-1

，利用作差可判斷數(shù)列{b_n}的單調(diào)情況，根據(jù)單調(diào)性可求得最大項(xiàng)，由此可證明；

解答：解：（1）由a₁a₃=6a₂，得a₂=6，
由a₁，a₂，a₃-8成等差數(shù)列，得a₁+（a₃-8）=2a₂，即

6

q

+6q-8=12，
解得q=

1

3

（舍去），或q=3，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=a2qn-2=6•3^n-2=2•3^n-1；
（2）b_n=

n(n+1)

an

=

n(n+1)

2•3n-1

，
則b_n+1-b_n=

(n+1)(n+2)

2•3n

-

n(n+1)

2•3n-1

=

(n+1)[(n+2)-3n]

2•3n

=

2(n+1)(1-n)

2•3n

≤0，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號，
所以b₁=b₂，n≥2時(shí)，b_n+1＜b_n從第二項(xiàng)起成單調(diào)遞減數(shù)列，
又b₂=b₁=1，所以數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)是1，
因此，b_n≤1．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的中項(xiàng)公式，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．