Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在(-

1

2

，2)的值域．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）【解法一】設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），根據(jù)題意列出方程組，求出a、b、c的值即可；
【解法二】根據(jù)題意求出f（x）的對稱軸與頂點坐標，設出f（x）的頂點式方程，求出它的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式，結合對稱軸，求出f（x）在閉區(qū)間上的值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）【解法一】設f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
由已知得

c=a+b+c=1 1 4 a+ 1 2 b+c= 3 4

，
解得a=1，b=-1，c=1，
∴f（x）=x²-x+1；
【解法二】∵f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，
∴f（x）的對稱軸是x=

1

2

，頂點為(

1

2

，

3

4

)，
∴設f(x)=a(x-

1

2

)2+

3

4

，
∵f(0)=

1

4

a+

3

4

=1，
解得a=1；
∴f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

=x2-x+1；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-x+1的對稱軸是x=

1

2

，
且f(

1

2

)=

3

4

，
f(-

1

2

)=

1

4

+

1

2

+1=

7

4

，
f（2）=4-2+1=3，
∴f（x）的值域為[

3

4

，3)．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質的應用問題，考查了求二次函數(shù)的解析式與值域的應用問題，是基礎題目