(2006•嘉定區(qū)二模)如圖,已知點F(1,0),點M在x軸上,點N在y軸上,且
NM
NF
=0
,點R滿足
NM
+
NR
=
0

(1)求動點R的軌跡C的方程;
(2)過點A(-1,0)作斜率為k的直線l交軌跡C于P、Q兩點,且∠PFQ為鈍角,求直線l的斜率k的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出R點的坐標(biāo),把M和N的坐標(biāo)用R的坐標(biāo)表示,求出向量
NM
,
NF
的坐標(biāo),由數(shù)量積為0化簡整理即可得到答案;
(2)設(shè)出直線l的方程,和(1)中的曲線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P,Q
兩點的縱坐標(biāo)的和與積,代入
FP
FQ
<0
的坐標(biāo)表示列式求解直線l的斜率k的取值范圍.
解答:解:(1)由已知,N是MR的中點,設(shè)R(x,y),則M(-x,0),N(0,
y
2
)
,
NM
={-x,-
y
2
}
,
NF
={1,-
y
2
}
,
NM
NF
=0
,得-x+
y2
4
=0
,即y2=4x
∴動點R的軌跡方程為y2=4x;
(2)直線l的方程為y=k(x+1),由
y=k(x+1)
y2=4x
,得ky2-4y+4k=0
△=16-16k2>0,-1<k<1,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=
4
k
,y1y2=4
由∠PFQ為鈍角,可得
FP
FQ
<0
,
FP
={x1-1,y1}
FQ
={x2-1,y2}
,于是(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,
(
y
2
1
4
-1)(
y
2
2
4
-1)+y1y2<0
,
(y1y2)2
16
-
y
2
1
+
y
2
2
4
+1+y1y2<0
,
6-
(
y
 
1
+y2)
2
-2y1y2
4
<0

6-
16
k2
-8
4
<0
,解得0<k2
1
2

∴直線l的斜率k的取值范圍是(-
2
2
,0)∪(0,
2
2
)
點評:本題考查了與直線有關(guān)的動點的軌跡方程,考查了利用平面向量數(shù)量積解決有關(guān)問題,訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,是有一定難度題目.
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