Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=

3

，BC=4．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求直線AB與平面PDC所成的角；
（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)E，使得DE∥平面PAB？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先證明BD⊥CD，再證明PD⊥BD，利用線面垂直的判定可得BD⊥平面PCD，從而可得BD⊥PC；
（2）根據(jù)PD⊥平面ABCD，可得平面PDC⊥平面ABCD．過D作DF∥AB交BC于F，過點(diǎn)F作FG⊥CD交CD于G，則∠FDG為直線AB與平面PDC所成的角，從而可得結(jié)論；
（3）連接EF，證明平面DEF∥平面PAB，從而EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論．

解答：（1）證明：在直角△ABD中，AD=1，AB=

3

，所以BD=2
∴∠ABD=30°
∴∠DBC=60°
在△DBC中，CD²=BD²+BC²-2BD×BC×cos60°=4+16-2×2×4×

1

2

=12
∴BC²=CD²+BD²，
∴BD⊥CD
∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PD⊥BD
∵PD∩CD=D
∴BD⊥平面PCD
∵PC?平面PCD
∴BD⊥PC；
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面ABCD．
∴平面PDC⊥平面ABCD．
過D作DF∥AB交BC于F，過點(diǎn)F作FG⊥CD交CD于G，則∠FDG為直線AB與平面PDC所成的角．
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF=

3

，CF=3，
∴tan∠FDG=

3

，∴∠FDG=60°．
即直線AB與平面PDC所成角為60°．
（3）解：存在，且滿足

PE

PC

=

1

4

連接EF，∵DF∥AB，∴DF∥平面PAB．
又∵DE∥平面PAB，DE∩DF=D
∴平面DEF∥平面PAB，
∵EF?平面DEF，∴EF∥AB．
又∵AD=1，BC=4，BF=1
∴

PE

PC

=

BF

BC

=

1

4

點(diǎn)評：本題通過分層設(shè)計(jì)，考查了空間平行、垂直，以及線面成角等知識，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．