Question

已知f（x）=log_mx（m為常數(shù)，m＞0且m≠1）
設(shè)f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，當m=

2

時，求S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式求出f（a_n），利用對數(shù)的定義求出a_n，求出相鄰兩項的比，利用等比數(shù)列的定義得證．
（2）求出b_n，將m的值代入，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和S_n．

解答：解：（1）由題意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，
即log_ma_n=2n+2
∴a_n=m²ⁿ⁺²
∴

an+1

an

=

m2(n+1)+2

m2n+2

=m2
∵m＞0且m≠1，∴m²為非零常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是以m⁴為首項，m²為公比的等比數(shù)列            
（2）由題意b_n=a_nf（a_n）=m²ⁿ⁺²log_mm²ⁿ⁺²=（2n+2）•m²ⁿ⁺²，
當m=

2

時，bn=(2n+2)•2n+1=(n+1)•2n+2
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²①
①式兩端同乘以2，得2S_n=2•2⁴+3•2⁵+4•2⁶+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³②
②-①并整理，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³
=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）•2ⁿ⁺³
=-23-

23[1-2n]

1-2

+(n+1)•2n+3
=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺³=2ⁿ⁺³•n

點評：要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列（等比數(shù)列）一般利用兩個特殊數(shù)列的定義；求數(shù)列的前n項和，首先判斷數(shù)列的通項的特點，再選擇合適的方法．