（2011•南通一模）選修4-5：不等式選講
設(shè)n∈N*，求證：
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
≤
n(2n-1)
．
分析：要證原結(jié)論成立，只需證兩端平方后的式子成立即可，左端利用基本不等式放縮后，整理即可證得．
解答：證明：要證
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
≤
n(2n-1)
，
只需證兩端平方后的式子成立，
即證
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+2
C
1
n
•
C
2
n
+2
C
1
n
•
C
3
n
+…+2
C
1
n
•
C
n
n
+2
C
2
n
•
C
3
n
+2
C
2
n
•
C
4
n
+…+2
C
n-1
n
•
C
n
n
≤n（2n-1）成立．
而左端=
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+2
C
1
n
•（
C
2
n
+
C
3
n
+…+
C
n
n
）+2
C
2
n
（
C
3
n
+
C
4
n
+…+
C
n
n
）+…+2
C
n-1
n
•
C
n
n

≤
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+[（
C
1
n
+
C
2
n
）+（
C
1
n
+
C
3
n
）+…+（
C
1
n
+
C
n
n
）]+[（
C
2
n
+
C
3
n
）+（
C
2
n
+
C
4
n
）+…+（
C
2
n
+
C
n
n
）]+…+（
C
n-1
n
+
C
n
n
）
=
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+（n-1）
C
1
n
+（n-1）
C
2
n
+（n-1）
C
3
n
+…+（n-1）
C
n
n

=
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+（n-1）（
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
）
=n（
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
）
=n（
C
0
n
+
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
-
C
0
n
）
=n（2n-1）成立．
∴原不等式
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
≤
n(2n-1)
成立（證畢）．
點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，著重考查分析法與放縮法的綜合應(yīng)用，考查分析與推理能力，屬于難題．
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（2），（4）
（2），（4）
．

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12
01
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