Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=2點(diǎn)A_n（，）在雙曲線y²-x²=1上，數(shù)列{b_n}中，點(diǎn)（b_n，T_n）在直線y=-x+1上，其中T_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）若c_n=a_nb_n，求證：c_n+1＜c_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)A_n代入雙曲線方程可得a_n+1-a_n=1可推斷數(shù)列{a_n}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而求得{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）把點(diǎn)（b_n，T_n）代入直線y=-x+1可得T_n=-b_n+1，進(jìn)而可得到T_n-1兩式相減可得b_n=b_n-1，進(jìn)而推斷數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列
（3）根據(jù)（1）（2）求得{a_n}的通項(xiàng)公式和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得{c_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得c_n+1-c_n的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式小于零，原式得證．
解答：解：（1）由已知點(diǎn)A_n（，）在曲線y²-x²=1上知a_n+1-a_n=1．所以數(shù)列{a_n}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1
（2）證明：因?yàn)辄c(diǎn)（b_n，T_n）在直線y=-x+1上，所以T_n=-b_n+1①
T_n-1=-b_n-1+1②
兩式相減得b_n=-b_n+b_n-1
∴b_n=b_n-1
令b=1得b₁=-b₁+1所以b₁=．
所以數(shù)列{b_n}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以b_n=（）^n-1=
（3）證明：c_n=a_n•b_n=（n+1）•，所以
c_n+1-c_n=（n+2）•-（n+1）•
=[（n+2）-3（n+1）]
=（n+2-3n-3）
=（-2n-1）＜0
故c_n+1＜c_n．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列與直線、雙曲線方程的綜合運(yùn)用．是近幾年高考�？嫉念�(lèi)型．