Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)P_n（n，S_n）（n∈N⁺）均在函數(shù)f（x）=x²+3x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

2an

，其中n∈N⁺，求數(shù)列{n•b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：由題意可得Sn=n2+3n，令n=1可求a₁=s₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，代入可求
（2）由（1）可得，bn=

2an

=

22n+2

=2ⁿ⁺¹，則S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，利用錯位相減可求和

解答：解（1）由題意可得Sn=n2+3n
∴a₁=s₁=4
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+3n-（n-1）²+3（n-1）=2n+2
而a₁=4=2×1+2適合上式
故a_n=2n+2
（2）由（1）可得，bn=

2an

=

22n+2

=2ⁿ⁺¹
∴S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹
2S_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²
兩式相減可得，-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2²⁺ⁿ
=

4(1-2n)

1-2

-n•2n+2=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4

點(diǎn)評：數(shù)列的遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

是實(shí)現(xiàn)由和轉(zhuǎn)換到項(xiàng)的基本工具，但要注意對n=1的檢驗(yàn)，而錯位相減法是數(shù)列求和的重點(diǎn)與難點(diǎn)，要注意掌握