Question

已知角α的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P，且α∈[0，π）．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是的值；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，求使得函數(shù)的恰有兩個零點(diǎn)的實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知及三角函數(shù)定義求出tanα的值小于0，再由α的范圍，確定出sinα和cosα的值，把所求式子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，把sinα和cosα的值代入即可求出值；
（2）由M與P的坐標(biāo)，表示出兩向量，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計算確定出f（α）的解析式，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，令解析式等于0，表示出1+k，根據(jù)α的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象求出正弦函數(shù)的值域，得出1+k的范圍，即可求出k的取值范圍．
解答：解：（1）由已知條件及三角函數(shù)定義，得到tanα=-，又α∈[0，π），
∴sinα=，cosα=-，
則cos（α-）=cosαcos+sinαsin=-×+×=；
（2）由點(diǎn)M的坐標(biāo)是，P（cosα，sinα），
由已知令f（α）=•-k=（，）（cosα-，sinα-）-k
=（cosα+sinα）-1-k=sin（α+）-1-k=0，
即1+k=sin（α+），
又α∈[0，π），∴α+∈[，），
由正弦定理圖象得：1+k∈[，1），
則函數(shù)的恰有兩個零點(diǎn)的實數(shù)k取值范圍是-≤k＜0．
點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及任意角的三角函數(shù)定義，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．