Question

設(shè)橢圓

x2

m+1

+y2=1的兩個焦點(diǎn)是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0），且橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線PF₁與直線PF₂垂直．
（I）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（II）設(shè)l是相應(yīng)于焦點(diǎn)F₂的準(zhǔn)線，直線PF₂與l相交于點(diǎn)Q．若

|QF2|

|PF2|

=2-

3

，求直線PF₂的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線PF₁⊥直線PF₂推斷以O(shè)為圓心以c為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，兩個方程聯(lián)立，表示出x²，進(jìn)而根據(jù)0≤x²＜a²確定m的范圍．
（2）設(shè)P（x，y），直線PF₂方程為：y=k（x-c），根據(jù)直線l的方程求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)

|QF2|

|PF2|

=2-

3

可推斷出點(diǎn)P分有向線段

QF 2

所成比為3-

3

，進(jìn)而根據(jù)Q和F₂的坐標(biāo)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程求得k，直線PF₂的方程可得．

解答：解：（1）∵直線PF₁⊥直線PF₂
∴以O(shè)為圓心以c為半徑的圓：x²+y²=c²與橢圓：

x2

m+1

+y2=1有交點(diǎn)．即

x2+y2=c2 x2 m+1 +y2=1

有解
又∵c²=a²-b²=m+1-1=m＞0
∴0≤x2=

m2-1

m

＜a2=m+1
∴m≥1
（2）設(shè)P（x，y），直線PF₂方程為：y=k（x-c）
∵直線l的方程為：x=

a2

c

=

m+1

m

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

m+1

m

，

k

m

）
∵

|QF2|

|PF2|

=2-

3

∴點(diǎn)P分有向線段

QF 2

所成比為3-

3

∵F₂（

m

，0），Q（

m+1

m

，

k

m

）
∴P（

(4- 3 )m+1

(4- 3 ) m

，

k

(4- 3 ) m

）
∵點(diǎn)P在橢圓上∴

( (4- 3 )m+1 (4- 3 ) m )2

m+1

+(

k

(4- 3 ) m

)2=1
∴k=±

(11-6 3 )m-1 m+1

直線PF₂的方程為：y=±

(11-6 3 )m-1 m+1

（x-

m

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．