Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）解不等式：f（x+1）＜f（

1

x-1

）．

Answer 1

（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函數(shù)，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•（x₁-x₂）．
據(jù)已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)知：

-1≤x+1≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+1＜ 1 x-1

，解得-2≤x＜-

2

，
故不等式的解集為{x|-2≤x＜-

2

}．