Question

已知正三棱錐S-ABC，斜高與底面ABC的夾角為α，在側(cè)面SAB上有一點(diǎn)P，過(guò)P做底面ABC的高，垂足為Q，已知PQ=PS•sinα，求P點(diǎn)軌跡為（　�。�

A．圓弧

B．線段

C．拋物線

D．圓

Answer 1

分析：畫(huà)出正三棱錐S-ABC，作出側(cè)面SAB的斜高SD，找出斜高與底面ABC的夾角為α，過(guò)側(cè)面SAB上任意一點(diǎn)P分別作AB與底面ABC的垂線PG，PQ，得到直角三角形后得到關(guān)系式PQ=PG•sinα，由已知PQ=PS•sinα，得到PG=PS．從而得到P點(diǎn)在以S為焦點(diǎn)，以AB為準(zhǔn)線的拋物線上．

解答：解：如圖，
S-ABC為正三棱錐，過(guò)S作SD⊥AB于D，連結(jié)CD，
則∠SDC為斜高與底面ABC的夾角為α，
P為側(cè)面SAB上任意一點(diǎn)，過(guò)P作PG⊥AB于G，作PQ⊥平面ABC于Q，
連結(jié)QG，則∠PGQ=α．
則PQ=PG•sinα，又PQ=PS•sinα，∴PG=PS．
∴P點(diǎn)在以S為焦點(diǎn)，以AB為準(zhǔn)線的拋物線上．
即P點(diǎn)軌跡為拋物線．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，屬中檔題．