Question

△ABC中，內(nèi)角為A，B，C，所對(duì)的三邊分別是a，b，c，已知b²=ac，．
（1）求的值；
（2）設(shè)，求a+c的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)b²=ac，得到一個(gè)關(guān)系式，再由cosB的值及B為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式得到sin（A+C）=sinB，然后將所求的式子兩分母分別利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，整理后，將sin（A+C）=sinB及得到的關(guān)系式代入，得到關(guān)于sinB的關(guān)系式，再將sinB的值代入即可求出值；
（2）由a，c及cosB的值，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)已知的等式，得到ac的值，進(jìn)而由b²=ac確定出b²的值，再利用余弦定理表示出cosB，將cosB，b²與ac的值代入，利用完全平方公式變形后再將ac的值代入，即可求出a+c的值．
解答：解：（1）∵b²=ac，
∴由正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
又cosB=，且B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB==，又sin（A+C）=sinB，
∴+=+=====；
（2）∵•=，cosB=，
∴ac•cosB=ac=，即ac=2，
∴b²=ac=2，
∴cosB=====，
∴（a+c）²=9，
則a+c=3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．