Question

11．方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x的解的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設f（x）=x^-2-（$\frac{1}{2}$）^x，其中x≠0；利用根的存在性定理判斷f（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）內有一個零點，計算f（2）=f（4）=0，判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個零點，由此得出答案．

解答 解：設f（x）=x^-2-（$\frac{1}{2}$）^x，其中x≠0；
容易驗證，f（-1）=1-2=-1＜0，
f（-$\frac{1}{2}$）=4-$\sqrt{2}$＞0，
所以f（x）在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{2}$）內有一個零點，
即方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x有一個實數(shù)解；
又f（2）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$=0，
f（4）=$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{16}$=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個零點是2和4，
對應方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x有兩個實數(shù)解2和4；
綜上，方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x解的個數(shù)是3個．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與方程實數(shù)根的個數(shù)判斷問題，是綜合性題目．