Question

已知直L₁：2x-y=0，L₂：x-2y=0．動(dòng)圓（圓心為M）被L₁L₂截得的弦長分別為8，16．
（Ⅰ）求圓心M的軌跡方程M；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+10與方程M的曲線相交于A，B兩點(diǎn)．如果拋物y²=-2x上存在點(diǎn)N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），M到L₁，L₂的距離分別為d₁，d₂，則d₁²+4²=d₂²+8²．…（2分）
∴，
∴x²-y²=80，即圓心M的軌跡方程M：x²-y²=80． …（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，
得（1-k²）x²-20kx-180=0． ①
∴AB的中點(diǎn)為，…（6分）
∴AB的中垂線為，即，…（7分）
由，得 ②…（8分）
∵存在N使得|NA|=|NB|成立的條件是：①有相異二解，并且②有解． …（9分）
∵①有相異二解的條件為，
∴?且k≠±1．③…（10分）
②有解的條件是，∴，④…（11分）
根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識易得時(shí)，k³-k+40＞0，
因此，由③④可得N點(diǎn)存在的條件是：-1或1＜k＜． …（12分）
分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），M到L₁，L₂的距離分別為d₁，d₂，則d₁²+4²=d₂²+8²．所以，由此能求出圓心M的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（1-k²）x²-20kx-180=0．AB的中點(diǎn)為，AB的中垂線為，由，得．由此能求出k的取值范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．