已知函數(shù)f(x)=
sinx+cosx
sinxcosx
，在下列給出結(jié)論中：
①π是f（x）的一個周期；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=
π
4
對稱；
③f（x）在(-
π
2
，0)上單調(diào)遞減．
其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（　　）
分析：①將x換為x+π，計算得到結(jié)果看與f（x）相等與否即可做出判斷；
②驗證f（x）是否等于f（
π
2
-x），即可做出判斷；
③設(shè)t=sinx+cosx，可得sinxcosx=
t2-1
2
，由x的范圍求出t的范圍，得出函數(shù)增減性，判斷即可．
解答：解：①f（x+π）=
sin(π+x)+cos(π+x)
sin(π+x)cos(π+x)
=-
sinx+cosx
sinxcosx
≠f（x），π不是f（x）的一個周期，本選項錯誤；
②∵f（
π
2
-x）=
sin(
π
2
-x)+cos(
π
2
-x)
sin(
π
2
-x)cos(
π
2
-x)
=
cosx+sinx
cosxsinx
=f（x），∴f（x）圖象關(guān)于直線x=
π
4
對稱，本選項正確，
③設(shè)t=sinx+cosx=
2
sin（x+
π
4
），可得sinxcosx=
t2-1
2
，
∴f（x）=
2t
t2-1
，
∵-
π
2
＜x＜0，
∴-
π
4
＜x+
π
4
＜
π
4
，即-1＜t＜1，
在（-1，1）上任取兩實數(shù)x1，x2，且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=
2x1
x12-1
-
2x2
x22-1
=
2(x1x2+1)(x2-x1)
(x1+1)(x1-1)(x2+1)(x2-1)
，
因為-1＜x1＜x2＜1，所以-1＜x1•x2＜1，x1•x2+1＞0，
x2-x1＞0，x1+1＞0，x1-1＜0，x2+1＞0，x2-1＜0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以
2t
t2-1
在（-1，1）上單調(diào)遞減，本選項正確，
則正確結(jié)論的個數(shù)為2個，
故選C
點評：此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時有x2∈S，給出下列四個結(jié)論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

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同步練習(xí)冊答案