Question

已知函數(shù)f(x)=

sinx+cosx

sinxcosx

，在下列給出結(jié)論中：
①π是f（x）的一個(gè)周期；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

4

對(duì)稱；
③f（x）在(-

π

2

，0)上單調(diào)遞減．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：①將x換為x+π，計(jì)算得到結(jié)果看與f（x）相等與否即可做出判斷；
②驗(yàn)證f（x）是否等于f（

π

2

-x），即可做出判斷；
③設(shè)t=sinx+cosx，可得sinxcosx=

t2-1

2

，由x的范圍求出t的范圍，得出函數(shù)增減性，判斷即可．

解答：解：①f（x+π）=

sin(π+x)+cos(π+x)

sin(π+x)cos(π+x)

=-

sinx+cosx

sinxcosx

≠f（x），π不是f（x）的一個(gè)周期，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②∵f（

π

2

-x）=

sin( π 2 -x)+cos( π 2 -x)

sin( π 2 -x)cos( π 2 -x)

=

cosx+sinx

cosxsinx

=f（x），∴f（x）圖象關(guān)于直線x=

π

4

對(duì)稱，本選項(xiàng)正確，
③設(shè)t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），可得sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（x）=

2t

t2-1

，
∵-

π

2

＜x＜0，
∴-

π

4

＜x+

π

4

＜

π

4

，即-1＜t＜1，
在（-1，1）上任取兩實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

x12-1

-

2x2

x22-1

=

2(x1x2+1)(x2-x1)

(x1+1)(x1-1)(x2+1)(x2-1)

，
因?yàn)?1＜x₁＜x₂＜1，所以-1＜x₁•x₂＜1，x₁•x₂+1＞0，
x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₁-1＜0，x₂+1＞0，x₂-1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以

2t

t2-1

在（-1，1）上單調(diào)遞減，本選項(xiàng)正確，
則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．